Arrhenius: dos temperaturas y energía de activación PAU

Dos constantes cinéticas medidas a distintas temperaturas permiten estimar una energía de activación mediante la ecuación de Arrhenius. La dificultad habitual está en el orden de los cocientes: cambiar el signo de un logaritmo sin cambiar la diferencia de temperaturas inversas produce una energía negativa que quizá solo refleja un error algebraico.

Aquí trabajaremos con datos originales de una reacción hipotética. El modelo mantiene constantes el mecanismo relevante, el factor preexponencial y la energía de activación dentro del intervalo considerado. No afirmamos que todas las reacciones reales sigan esa aproximación en cualquier temperatura. Tampoco son datos de una convocatoria oficial.

De la ecuación exponencial al cociente

Escribimos k=A·exp(−Ea/RT). A es el factor preexponencial, Ea la energía de activación, R la constante de los gases y T la temperatura absoluta. Para dos temperaturas de la misma reacción, dividir las constantes cancela A si se mantiene igual.

Una forma cómoda es ln(k₂/k₁)=(Ea/R)(1/T₁−1/T₂). El logaritmo es natural. Antes de introducir números, anota qué dato corresponde a cada subíndice. Puedes intercambiar simultáneamente ambos pares; no puedes invertir solo el cociente.

Las dos constantes deben tener las mismas unidades y describir la misma ley de velocidad. El cociente k₂/k₁ queda sin unidades. Una constante de orden uno y otra de orden dos no se pueden tratar como dos medidas directamente comparables de esta manera.

Ejercicio 1: obtener Ea con dos medidas

Una reacción presenta k₁=0,00200 s⁻¹ a T₁=300 K y k₂=0,00800 s⁻¹ a T₂=330 K. Calcula Ea utilizando R=8,314 J·mol⁻¹·K⁻¹.

Paso 1. Cociente de constantes. k₂/k₁=4 y ln(4)=1,38629. El logaritmo es positivo porque la segunda constante es mayor.

Paso 2. Diferencia de temperaturas inversas. 1/300−1/330=0,000303030 K⁻¹. También es positiva porque T₂ es mayor que T₁.

Paso 3. Despejar y sustituir. Ea=8,314·1,38629/0,000303030=38 035 J·mol⁻¹, aproximadamente 38,0 kJ·mol⁻¹.

El resultado positivo concuerda con el aumento de k en este modelo. No convierte automáticamente esa magnitud en calor liberado por la reacción. Ea caracteriza la dependencia cinética asumida, mientras que la entalpía compara estados inicial y final.

Ejercicio 2: predecir k a una tercera temperatura

Utiliza el resultado anterior para estimar k₃ a 360 K. La predicción es una extrapolación del modelo, no una nueva medición experimental.

Paso 1. Elegir una referencia. Usamos k₁ y T₁. Entonces ln(k₃/k₁)=(Ea/R)(1/300−1/360).

Paso 2. Aprovechar los datos exactos de partida. Ea/R=ln(4)/(1/300−1/330). La nueva diferencia de inversas es 11/6 veces la diferencia anterior. Por tanto, ln(k₃/k₁)=(11/6)ln(4).

Paso 3. Eliminar el logaritmo. k₃=0,00200·4^(11/6)=0,0254 s⁻¹ aproximadamente. Conserva las cifras intermedias para que el redondeo de Ea no cambie innecesariamente el resultado.

Que la temperatura aumente 30 K dos veces no significa que k se multiplique por el mismo factor en ambos pasos. La ecuación depende de 1/T, no de una proporcionalidad directa entre k y T. Entre 330 y 360 K, el factor previsto es menor que cuatro.

Ejercicio 3: temperatura necesaria para duplicar k

Buscamos la temperatura a la que k vale 0,00400 s⁻¹, el doble de su valor a 300 K. Mantenemos los mismos supuestos.

Paso 1. Escribir el cociente. ln(2)=(Ea/R)(1/300−1/T).

Paso 2. Aislar la inversa de T. 1/T=1/300−(R/Ea)ln(2). Como ln(2) es la mitad de ln(4), la resta equivale a la mitad del intervalo entre 1/300 y 1/330.

Paso 3. Invertir al final. 1/T=0,00318182 K⁻¹ y T=314,29 K. Si se solicita en grados Celsius, T≈41,14 °C.

No se obtiene la media aritmética 315 K: se está calculando un punto intermedio en temperaturas inversas. Además, 314,29 K queda entre 300 y 330 K, como debe ocurrir para una constante intermedia dentro de este modelo monótono.

Un control que no depende de la calculadora

Escribe una tabla breve con T y k antes de resolver. Si Ea es positiva y A permanece constante, un aumento de T debe aumentar k. Esa comparación permite detectar una inversión del cociente incluso cuando no recuerdas todos los decimales.

Distingue también constante cinética y velocidad de reacción. Para calcular una velocidad concreta necesitarás la ley de velocidad y las concentraciones. La comparación de k no autoriza a afirmar que cualquier mezcla reaccionará cuatro veces más deprisa si sus demás condiciones cambian.

Si dispones de más de dos medidas, el modelo puede contrastarse representando ln(k) frente a 1/T. Una recta es compatible con una Ea aproximadamente constante en el intervalo; dos puntos por sí solos no comprueban esa linealidad. Una desviación no se resuelve borrando el dato incómodo: exige revisar medidas y supuestos.

Para situar esta práctica en el bloque completo, consulta el artículo relacionado de Química. El recurso gratuito de repaso ayuda a organizar conceptos; su descarga no implica que se permita llevarlo a una prueba.

Referencia conceptual: OpenStax, apartado consultado. Los ejercicios, datos y desarrollos son originales. No se atribuyen a un examen oficial ni predicen su frecuencia o los criterios de una convocatoria.

Preguntas frecuentes

¿Hay que convertir las temperaturas a kelvin?

Sí. La temperatura aparece en el denominador de una expresión termodinámica y debe ser absoluta.

¿Puedo usar kJ con R=8,314?

Solo si conviertes la energía a julios; también puedes usar R=0,008314 kJ·mol⁻¹·K⁻¹.

¿La energía de activación es la entalpía de reacción?

No. Describen magnitudes diferentes y una no se obtiene de la otra sin información adicional.

Comprueba el signo antes de aceptar una temperatura

Resuelve de nuevo el tercer ejercicio usando la medida de 330 K como referencia. Debes recuperar la misma temperatura. Antes de aceptar el resultado, explica por qué un cociente mayor que uno corresponde aquí a una temperatura mayor y conserva los julios o kilojulios de forma coherente.

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