Equipotencials: del mapa de potencial al camp elèctric

On no és nul, el camp elèctric apunta cap on disminueix el potencial i és perpendicular a les equipotencials. En un camp uniforme, el seu mòdul es calcula dividint la diferència de potencial per la distància perpendicular entre dues equipotencials. El treball, en canvi, depèn també del signe de la càrrega que es desplaça: no el pots deduir només mirant la fletxa del camp.

Les orientacions oficials de Física del curs 2026–2027, a l’apartat de camp electromagnètic, inclouen interpretar i generar diagrames de línies de camp i superfícies equipotencials. El document didàctic oficial d’experiments de 2025 proposa relacionar aquests dos tipus de línies. És una referència històrica de pràctica, no una garantia de pregunta concreta el 2027.

Un mapa de potencial amb dades pròpies

Considera una regió plana on suposem un camp electrostàtic uniforme, paral·lel a l’eix x. La taula representa dades ideals construïdes per a aquest exercici; no són mesures d’un experiment real ni dades d’un examen oficial. Les coordenades s’expressen en centímetres i els potencials, en volts.

Coordenada y	x = 0 cm	x = 2,0 cm	x = 4,0 cm	x = 6,0 cm
y = 0 cm	12 V	9,0 V	6,0 V	3,0 V
y = 4,0 cm	12 V	9,0 V	6,0 V	3,0 V

Anomena A el punt (2,0; 0), B el punt (2,0; 4,0) i C el punt (6,0; 0). Una càrrega de prova q = −2,0 nC és prou petita per no modificar el camp.

La tasca és dibuixar les equipotencials, calcular el camp i comparar el treball que fa el camp en els desplaçaments A→B i A→C. Abans d’operar, identifica què coneixes de cada punt: A i B tenen el mateix potencial, però C en té un de menor.

Pas 1: dibuixa les equipotencials i el sentit

Dins del model uniforme indicat, tots els punts amb una mateixa x tenen el mateix potencial. Les equipotencials del dibuix són rectes verticals: x = 0, x = 2,0 cm, x = 4,0 cm i x = 6,0 cm. Si penséssim en tres dimensions, aquestes rectes serien seccions de superfícies equipotencials.

El potencial baixa quan avances cap a la dreta: passa de 12 V a 3,0 V. Per tant, el camp apunta cap a +x, perpendicularment a les rectes verticals. Dibuixa una fletxa horitzontal cap a la dreta, no una fletxa que uneixi arbitràriament A i B.

No has fet servir el signe de la càrrega de prova per trobar el camp. El mapa de potencial descriu la regió abans d’introduir-hi aquesta càrrega. El signe de q serà necessari després, quan calculis la força i el treball.

Pas 2: calcula el camp amb metres

Entre A i C, la variació de potencial és ΔV = V_C − V_A = 3,0 − 9,0 = −6,0 V. La separació horitzontal és Δx = 6,0 − 2,0 = 4,0 cm = 0,040 m.

En aquest model unidimensional uniforme:

E_x = −ΔV/Δx = −(−6,0)/0,040 = +1,5 × 10² V/m.

El signe positiu confirma la fletxa cap a la dreta. Com que el model no presenta variació de potencial en la direcció y, E_y = 0. Pots expressar el resultat com E = (1,5 × 10²; 0) V/m. També són unitats equivalents N/C.

Comprova-ho amb dues columnes consecutives: la baixada és de 3,0 V en 0,020 m, que dona el mateix camp. Si haguessis dividit per 4,0 sense convertir centímetres a metres, obtindries un valor cent vegades més petit.

Pas 3: mateix potencial no vol dir camp nul

A i B tenen V_A = V_B = 9,0 V. El treball del camp electrostàtic és:

W_camp(A→B) = q(V_A − V_B) = q·0 = 0 J.

Tot i això, el camp continua tenint mòdul 1,5 × 10² V/m. El treball és nul perquè el desplaçament entre aquests punts no canvia l’energia potencial, no perquè no hi hagi camp.

En aquest cas, la força elèctrica és horitzontal i el desplaçament recte A→B és vertical. Són perpendiculars. Tampoc pots concloure que la càrrega recorrerà espontàniament aquesta recta: descriure una trajectòria requereix informació sobre les condicions inicials i les altres forces.

Pas 4: una càrrega negativa canvia el signe del treball

Converteix primer la càrrega: q = −2,0 × 10⁻⁹ C. Entre A i C:

W_camp = q(V_A − V_C) = (−2,0 × 10⁻⁹)(9,0 − 3,0) = −1,2 × 10⁻⁸ J, és a dir, −12 nJ.

L’energia potencial augmenta: ΔU = −W_camp = +12 nJ. El potencial disminueix, però l’energia potencial U = qV augmenta perquè q és negativa. Aquesta és la distinció que evita decidir el signe de memòria.

La força també ho confirma: F_x = qE_x = (−2,0 × 10⁻⁹)(1,5 × 10²) = −3,0 × 10⁻⁷ N. Apunta cap a l’esquerra, en sentit contrari al desplaçament A→C. El camp hi fa treball negatiu.

Només si el trasllat es fa sense canvi d’energia cinètica i no intervenen altres treballs, el treball extern necessari és +12 nJ. No atribueixis aquest valor a qualsevol moviment de la càrrega.

Què passa si acostes les equipotencials?

Imagina una segona configuració uniforme on la mateixa baixada de 6,0 V es produeix en 0,020 m. El mòdul passa a ser 6,0/0,020 = 3,0 × 10² V/m, el doble. La comparació exigeix mantenir la mateixa diferència de potencial; unes línies dibuixades més juntes amb salts de potencial diferents no permeten aquesta conclusió directa.

La taula inicial és coherent amb un camp uniforme, però un conjunt finit de valors no demostra per si sol que el camp sigui uniforme a tots els punts. Sense aquesta hipòtesi, el quocient entre dues posicions dona una variació mitjana al llarg de la separació considerada. Caldrien més dades o un model per descriure el camp local.

Preguntes freqüents

Si dos punts tenen el mateix potencial, el camp és zero?

No. El treball electrostàtic entre aquests punts és zero, però el camp pot ser diferent de zero. En l’exemple, A i B tenen 9,0 V i el camp és horitzontal i no nul.

Per què una càrrega negativa pot guanyar energia potencial quan baixa el potencial?

Perquè U = qV. Si q és negativa, una disminució de V produeix un augment d’U. Entre A i C, l’energia potencial augmenta 12 nJ i el treball del camp és −12 nJ.

Puc calcular el camp local amb qualsevol parella de mesures?

No de manera exacta en general. El quocient −ΔV/Δx és adequat per al model uniforme indicat; sense aquesta hipòtesi descriu una variació mitjana i no determina tot el vector local.

Continua amb el dibuix abans de calcular

Repeteix el raonament canviant el signe de q i conserva el mateix mapa: el camp no canvia, però la força i el treball sí. Si el resultat no concorda amb les fletxes, revisa els signes abans de repetir les operacions.

Pots obrir la mostra gratuïta de Física, amb Campo gravitatorio, Campo electromagnético i Ondas y óptica. El curs de Física per a Catalunya està disponible per comprar per 12 €, pagament únic; consulta el temari públic i les condicions actuals a la fitxa. Per situar aquesta tasca entre els blocs, tens la guia de Física PAU a Catalunya.