tema 02 de 03 · Matemáticas CCSS II
Análisis
Es el bloque más variado del examen, pero más acotado de lo que parece: sin trigonometría, sin integración por partes, y casi siempre con la misma función a trozos de la que cuelgan continuidad, crecimiento y área. Si dominas tres procedimientos, límites laterales, signo de la derivada y trocear antes de integrar, tienes cubierta la mayor parte.
Qué te va a pedir el examen
- Estudiar la continuidad de una función definida a trozos, hallar el parámetro que la hace continua y clasificar la discontinuidad.
- Determinar asíntotas verticales, horizontales u oblicuas, e interpretar el límite en el infinito en contexto («¿se estabiliza a largo plazo?»).
- Calcular la recta tangente, estudiar crecimiento y extremos, incluidos los absolutos en un intervalo cerrado.
- Resolver un problema de optimización con derivadas y responder con unidades.
- Calcular primitivas, aplicar la regla de Barrow y hallar el área de un recinto.
1 Continuidad en el punto de empalme: tres valores que deben coincidir
Una función es continua en x = a si existe f(a), existen los límites laterales, coinciden entre sí y coinciden con f(a). En una función a trozos, el único sitio donde puede fallar es el punto de empalme: calcula el límite por la izquierda con la expresión de antes, el límite por la derecha con la de después, y f(a). Si los tres coinciden, es continua. Si hay un parámetro, iguala los límites laterales y despeja.
Cuando no es continua, hay que decir de qué tipo es la discontinuidad, con la nomenclatura exacta: evitable si los laterales coinciden pero no valen f(a) o f(a) no existe; de salto finito si los laterales existen, son finitos y distintos; de salto infinito si alguno de los laterales es infinito, y entonces hay asíntota vertical.
El matiz conceptual que se pregunta como cuestión: derivable implica continua, pero continua no implica derivable. Una función continua puede tener un pico, como |x| en x = 0, con derivadas laterales -1 y +1. Para estudiar la derivabilidad en el empalme, primero la continuidad y después las derivadas laterales, derivando cada trozo y sustituyendo. Si te piden dos parámetros para que sea continua y derivable, son esas dos ecuaciones.
2 Asíntotas y el límite que se interpreta
Las verticales están en los valores que anulan el denominador sin anular el numerador: el límite ahí es infinito, y conviene estudiar los dos lados. Ojo en las funciones a trozos: un valor que anula el denominador solo cuenta si está dentro del trozo donde se usa esa expresión.
Las horizontales, y = L, salen del límite en el infinito. Para una función racional manda la comparación de grados: numerador de menor grado, límite 0; grados iguales, cociente de los coeficientes principales; numerador de mayor grado, infinito. Las oblicuas, y = mx + n, aparecen solo cuando el grado del numerador supera en exactamente uno al del denominador, con m el límite de f(x)/x y n el límite de f(x) menos mx. Regla que ahorra errores: horizontal y oblicua no coexisten en el mismo lado. Si hay horizontal, no busques oblicua.
En esta asignatura el límite en el infinito suele venir disfrazado de pregunta económica: «¿están limitados los beneficios?», «¿a qué valor tiende la población a largo plazo?». Es una asíntota horizontal, y la respuesta hay que darla interpretada: «los beneficios tienden a estabilizarse en 50.000 euros», no «el límite es 50.000».
3 La derivada: tangente, crecimiento y extremos, también en los bordes
Sin trigonometría la tabla es corta: potencias, raíz, exponenciales y logaritmos, con las reglas del producto, del cociente y de la cadena. La cadena es la que más se falla: al derivar algo compuesto hay que multiplicar por la derivada de lo de dentro, el 2 de e2x o el 2 de ln(2x − 5). La recta tangente en x = a es y = f(a) + f'(a)·(x − a): pendiente f'(a), y pasa por el punto (a, f(a)). Tres pasos: f(a), f'(x), f'(a).
El signo de f' ordena la función: f' > 0, creciente; f' < 0, decreciente. Los extremos relativos están donde f' = 0 y se clasifican por el cambio de signo (de más a menos, máximo; de menos a más, mínimo) o con f'' (negativa, máximo; positiva, mínimo). Comprobarlo no es adorno: confundir máximo con mínimo por no mirar el signo es un error documentado.
Y el matiz que separa notas: en un intervalo cerrado, el extremo absoluto puede no estar donde f' = 0. Hay tres sitios donde mirar: los puntos críticos interiores, los extremos del intervalo y, en funciones a trozos, los puntos de empalme, donde f' puede no existir y aun así haber un máximo. Evalúa f en todos los candidatos y compara. Buscar solo donde f' = 0 y olvidar los bordes es de los fallos más repetidos del bloque.
Los problemas de optimización encadenan todo lo anterior: escribe la magnitud a optimizar, usa la restricción del enunciado para dejarla en una sola variable, deriva, iguala a cero, comprueba que es máximo o mínimo y responde con unidades. No lo confundas con la programación lineal: allí función y restricciones son lineales y se resuelve por vértices; aquí hay una función, a menudo cuadrática o racional, y se resuelve derivando.
4 Integrales: Barrow mide área con signo, y el área no tiene signo
Lo que entra es deliberadamente corto: primitivas inmediatas, simples y compuestas, y la regla de Barrow. Las inmediatas: xn da xn+1/(n + 1), 1/x da ln|x|, ex da ex. Las compuestas son la regla de la cadena al revés: si dentro hay una función y fuera su derivada, la integral es directa (e2x integra a e2x/2). Y la constante: si te dan f' y una condición («al principio valía 3»), integras, dejas la C y la despejas con el dato. Olvidar la C antes de imponer la condición es un error documentado.
La regla de Barrow dice que la integral definida entre a y b es F(b) menos F(a), con F una primitiva. Pero la integral definida no es el área: es el área con signo. Por eso el procedimiento para un área tiene cuatro pasos: halla los puntos de corte con el eje X (o entre las dos curvas), trocea el intervalo en esos cortes, integra en cada trozo y toma el valor absoluto, y suma. Integrar de a a b de un tirón cuando la curva cruza el eje cancela las partes de signo distinto y da un resultado absurdo, a veces negativo.
Entre dos curvas, en cada tramo resta la que está arriba menos la que está abajo. Y la interpretación que vale puntos: en contexto económico la integral definida es una magnitud acumulada. «Cuánto se produce entre el mes 2 y el mes 8» es una integral definida entre 2 y 8.
Para llevarte
- Continuidad en el empalme: límite por la izquierda, límite por la derecha y f(a) deben coincidir; con parámetro, iguala los laterales y despeja.
- Derivable implica continua, pero continua no implica derivable: los picos existen, y la derivabilidad exige derivadas laterales iguales.
- Horizontal y oblicua no coexisten; una asíntota vertical solo cuenta dentro del trozo donde se usa esa expresión.
- Recta tangente: y = f(a) + f'(a)·(x − a). Y en la regla de la cadena, multiplica siempre por la derivada de lo de dentro.
- En un intervalo cerrado, el extremo absoluto puede estar en los bordes o en un punto de empalme, no solo donde f' = 0: compara todos los candidatos.
- Para un área, trocea en los puntos de corte y suma valores absolutos: Barrow solo da área con signo.
Errores que restan
- Integrar de a a b sin trocear cuando la curva cruza el eje: las partes de signo opuesto se cancelan y el área sale mal.
- Buscar el extremo absoluto solo donde f' = 0, olvidando los extremos del intervalo y los puntos de empalme.
- Olvidar la derivada de lo de dentro en la regla de la cadena, o la constante C al reconstruir una función desde su derivada.
- Buscar asíntota oblicua cuando ya hay horizontal, o poner una vertical en un valor que queda fuera del trozo.
- Confundir continuidad con derivabilidad, o dar el resultado numérico sin responder a la pregunta real del problema.
Autochequeo
Responde sin mirar arriba. Si fallas, mejor aquí que el día del examen: cada opción trae su porqué.
1. La función f vale x² + a si x < 1 y 3x − 1 si x ≥ 1. ¿Para qué valor de a es continua en x = 1?
Límite por la izquierda: 1 + a. Límite por la derecha y f(1): 3 − 1 = 2. Para que coincidan, 1 + a = 2, así que a = 1. Los distractores salen de olvidar el término del trozo derecho, de igualar solo el cuadrado o de tomar el coeficiente de x como si fuera el límite.
2. Una función racional tiene asíntota horizontal y = 2 cuando x tiende a más infinito. ¿Tiene asíntota oblicua por ese lado?
La oblicua aparece solo cuando el grado del numerador supera en exactamente uno al del denominador, y en ese caso el límite en el infinito es infinito, así que no puede haber horizontal. Si hay horizontal, no hay oblicua por ese lado. Los ceros del denominador tienen que ver con las verticales, no con las oblicuas.
3. Quieres el máximo absoluto de una función continua en el intervalo cerrado [0, 6], y f' se anula solo en x = 2. ¿Dónde puede estar el máximo?
En un intervalo cerrado, el máximo absoluto está entre los candidatos: los puntos críticos interiores y los dos bordes del intervalo. En x = 2 puede haber un extremo relativo que un borde supere, porque la función puede seguir creciendo después. Buscar solo donde f' = 0 y olvidar los bordes es el error documentado de este apartado.
4. La derivada de f(x) = e<sup>2x</sup> es...
Es una exponencial compuesta: (e<sup>u</sup>)' = e<sup>u</sup>·u', y aquí u' = 2. Dejar solo e<sup>2x</sup> es olvidar la derivada de lo de dentro, el fallo más repetido de la regla de la cadena; dividir entre 2 es lo que se hace al integrar, no al derivar; y la última opción trata la exponencial como una potencia.
5. Una curva corta al eje X en x = 2. Quieres el área entre la curva y el eje en el intervalo [1, 3]. ¿Qué haces?
Como la curva cruza el eje dentro del intervalo, en un tramo está por encima y en otro por debajo: integrar de un tirón cancela las dos partes y da un valor que no es el área. Cambiar el signo al final tampoco lo arregla, porque la cancelación ya se ha producido. Hay que trocear en el corte, tomar valores absolutos y sumar.
La pregunta que decide si lo tienes
Calcula el área del recinto limitado por la curva y = 3x·(2 − x), el eje X y las rectas x = 1 y x = 3.
Pista 1
Antes de integrar nada, averigua dónde corta la curva al eje X: resuelve 3x·(2 − x) = 0. Uno de los cortes cae dentro del intervalo [1, 3], y eso significa que el recinto tiene dos trozos, uno por encima del eje y otro por debajo.
Pista 2
Desarrolla la función, 6x − 3x², y busca una primitiva. Aplica Barrow por separado en [1, 2] y en [2, 3]. Uno de los dos resultados te va a salir negativo: es la señal de que ese trozo está bajo el eje, no un error.
Solución
Los cortes con el eje X son x = 0 y x = 2, así que dentro de [1, 3] la curva cambia de signo en x = 2 y hay que trocear. La función es f(x) = 6x − 3x², y una primitiva es F(x) = 3x² − x³. Primer trozo, de 1 a 2: F(2) − F(1) = (12 − 8) − (3 − 1) = 4 − 2 = 2. Segundo trozo, de 2 a 3: F(3) − F(2) = (27 − 27) − (12 − 8) = 0 − 4 = −4. El signo negativo indica que en ese tramo la curva está por debajo del eje: el área de ese trozo es 4. Área total: 2 + 4 = 6 unidades cuadradas. Si hubieras integrado de 1 a 3 de un tirón habrías obtenido 2 + (−4) = −2, un área negativa, que es la señal inequívoca de que faltaba trocear. Por eso el primer paso de cualquier área es buscar los cortes: son los que te dicen cuántas integrales hay que hacer.