Probabilidad e inferencia

Qué te va a pedir el examen

• Definir los sucesos por escrito y calcular probabilidades con unión, complementario y condicionada; decidir si dos sucesos son independientes.
• Resolver un problema de probabilidad total y de Bayes con un diagrama de árbol.
• Aproximar una binomial por una normal, comprobando las condiciones y aplicando la corrección de continuidad; tipificar y leer la tabla.
• Construir un intervalo de confianza para la media o la proporción, calcular el error y el tamaño muestral mínimo, e interpretar el resultado.

1 Sucesos: lo que se pregunta va delante de la barra

Antes de calcular nada, define los sucesos por escrito: «Sea A = el cliente compra por internet». Parece trivial, y en los criterios de corrección se puntúa aparte del cálculo. Después, tres herramientas que resuelven casi todo: el complementario, P(no A) = 1 − P(A); la unión, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); y las leyes de De Morgan, que traducen «ninguno de los dos» como 1 − P(A ∪ B) y «no los dos a la vez» como 1 − P(A ∩ B). Siempre que leas «al menos uno», piensa en el complementario: es el camino corto.

La probabilidad condicionada es la del bloque: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), la probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B. En cuanto veas «sabiendo que», «si es de tipo», «entre los que», es una condicionada. Y el orden importa: lo que se pregunta va delante de la barra, la condición detrás. Invertir P(A | B) con P(B | A) es el error número uno del tema. De la definición sale la fórmula del producto, P(A ∩ B) = P(A | B)·P(B), que es la que usas para montar intersecciones.

Dos sucesos son independientes si P(A ∩ B) = P(A)·P(B), o lo que es lo mismo, si P(A | B) = P(A). Cuando te pidan comprobarlo, calcula los dos lados y compara, y escribe la conclusión con palabras. Y no lo confundas con incompatibles, que es otra cosa: incompatibles significa que no pueden ocurrir a la vez, P(A ∩ B) = 0. De hecho, dos sucesos incompatibles con probabilidad no nula son siempre dependientes.

2 El árbol: bajar para la probabilidad total, subir para Bayes

Cuando la población se reparte en varios grupos (una partición A₁, A₂, A₃) y un suceso Q puede darse en cualquiera de ellos, dibuja un árbol: primer nivel, los grupos con sus probabilidades, que deben sumar 1; segundo nivel, desde cada grupo, Q y no Q con las condicionadas. La probabilidad de un camino es el producto de sus ramas. Si las ramas del primer nivel no suman 1, has repartido mal la partición.

La probabilidad total es bajar por el árbol: P(Q) es la suma de todos los caminos que llegan a Q, P(Q | A₁)·P(A₁) + P(Q | A₂)·P(A₂) + P(Q | A₃)·P(A₃). El teorema de Bayes es subir: ya sabes que ocurrió Q y preguntas de qué grupo venía, P(A_i | Q) = P(Q | A_i)·P(A_i) / P(Q). Es decir, el camino que te interesa dividido por la probabilidad total. Dar solo el numerador, sin dividir, es un error documentado que se repite cada año.

Cómo distinguirlos en el enunciado: si te da la condición y busca el suceso final («¿probabilidad de que la pieza sea defectuosa?»), es total; si te da el resultado y busca de qué grupo salió («si es defectuosa, ¿probabilidad de que venga de la máquina A?»), es Bayes. Casi siempre se piden en ese orden, porque Bayes reutiliza en el denominador la total que acabas de calcular. Y si la condición es «no ocurrió Q», usa las ramas de no Q, que son 1 menos las de Q.

3 Binomial y normal: tipificar, leer la tabla y corregir medio punto

La binomial B(n, p) cuenta éxitos en n pruebas independientes con probabilidad p constante; su media es n·p y su desviación típica la raíz de n·p·q, con q = 1 − p. Para valores exactos, P(X = k) = C(n, k)·p^k·q^n−k; para «al menos uno», el complementario 1 − P(X = 0). Cuidado: si las extracciones son sin reemplazamiento, no hay binomial, porque la probabilidad cambia en cada extracción.

La normal N(μ, σ) se trabaja siempre igual: se tipifica con Z = (X − μ) / σ y se lee la tabla, que da P(Z ≤ z) para z positivo. Los cuatro casos: lectura directa; P(Z ≥ z) = 1 − P(Z ≤ z); P(Z ≤ −z) = 1 − P(Z ≤ z), por simetría; y P(a ≤ Z ≤ b) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a). Si un z se sale de la tabla, su probabilidad es prácticamente 0 o 1, y conviene decirlo. El problema inverso también cae: te dan la probabilidad, buscas el z y deshaces la tipificación con X = μ + z·σ.

Cuando n es grande, la binomial se aproxima por una normal N(n·p, √(n·p·q)), siempre que n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5: comprueba y escribe las condiciones, porque forman parte de la respuesta. Y como pasas de una variable discreta a una continua, aplica la corrección de continuidad: P(X ≥ k) se convierte en P(X' ≥ k − 0,5), P(X ≤ k) en P(X' ≤ k + 0,5), y P(X = k) en el intervalo entre k − 0,5 y k + 0,5. Olvidar ese medio punto es el error más típico del apartado.

4 Intervalos de confianza: cinco pasos y una regla de redondeo

Si la población es N(μ, σ), la media muestral de muestras de tamaño n se distribuye como N(μ, σ/√n): las medias se agrupan más que los datos sueltos. De ahí sale la primera trampa del bloque: cuando pregunten por la media de una muestra, tipifica con σ/√n, no con σ. Tipificar con σ responde a otra pregunta, la de un individuo.

El intervalo de confianza para la media es (x̄ − E, x̄ + E), con el error E = z_α/2·σ/√n. Cinco pasos: identifica x̄, σ y n; halla z_α/2, que es el valor cuya área a la izquierda en la tabla es 1 − α/2 (no 1 − α); calcula E; escribe el intervalo; e interpreta con palabras: «con una confianza del 95 por ciento, la media de la población está entre 10,8 y 13,2 horas». Los valores más habituales: 90 por ciento, 1,645; 95, 1,96; 97, 2,17; 99, 2,575. Para el resto, la tabla. Para la proporción el esquema es idéntico cambiando σ/√n por √(p̂·q̂/n), con p̂ la proporción muestral, y el z es el mismo: depende solo de la confianza.

El tamaño muestral mínimo sale de despejar n en la fórmula del error: n ≥ (z_α/2·σ / E)² para la media, y n ≥ z_α/2²·p̂·q̂ / E² para la proporción (con p̂ = q̂ = 0,5 si no hay estimación previa). Y la regla que más se falla: se redondea hacia arriba, siempre, aunque salga 50,02. Con menos individuos el error sería mayor que el exigido, y no se pueden encuestar fracciones de persona. Un tamaño de 706,33 son 707.

Las tres relaciones que se preguntan como razonamiento: a más confianza, intervalo más ancho (z crece); a más tamaño de muestra, intervalo más estrecho (σ/√n baja), y para reducir el error a la mitad hay que cuadruplicar la muestra, porque n depende de 1/E²; y a más desviación típica, más amplitud. Precisión y confianza compiten: solo se ganan las dos a la vez con más datos. Un aviso más: la amplitud del intervalo es 2E, no E. Si te dan el intervalo ya construido, la media muestral es el centro (semisuma de los extremos) y el error es la semiamplitud (semidiferencia).

Errores que restan

• Invertir la condicionada, confundiendo P(A | B) con P(B | A), o no definir los sucesos por escrito.
• En Bayes, dar solo el numerador del camino sin dividir por la probabilidad total.
• Olvidar la corrección de continuidad al aproximar la binomial por la normal, o aproximar sin comprobar las condiciones.
• Tipificar la media muestral con σ en vez de con σ/√n, o buscar el z con área 1 − α en lugar de 1 − α/2.
• Redondear el tamaño muestral hacia abajo, confundir el error E con la amplitud 2E, o dar el intervalo sin interpretarlo.

Autochequeo

Responde sin mirar arriba. Si fallas, mejor aquí que el día del examen: cada opción trae su porqué.