Álgebra y programación lineal

Qué te va a pedir el examen

• Calcular determinantes e inversas, y despejar la incógnita en una ecuación matricial del tipo A·X = B o X·A = B.
• Discutir un sistema según un parámetro con el teorema de Rouché-Frobenius y resolverlo por Cramer o por Gauss.
• Plantear un sistema a partir de un enunciado económico, definiendo las incógnitas con unidades.
• Resolver un problema completo de programación lineal: variables, función objetivo, restricciones, región factible, vértices y respuesta en contexto.

1 Matrices: tratarlas como números, con una excepción

Las matrices se suman elemento a elemento y se multiplican solo si las columnas de la primera coinciden con las filas de la segunda. Y aquí está la excepción que ordena todo el bloque: el producto no es conmutativo, A·B no es lo mismo que B·A. Tampoco se puede simplificar: de A·B = A·C no se deduce que B = C. Cuando despejes, trata las matrices como números, pero recordando en todo momento ese ajuste.

El determinante es el número que decide si una matriz tiene inversa: A tiene inversa si y solo si |A| es distinto de 0. Para orden 2, |A| = a·d menos b·c; para orden 3, la regla de Sarrus o el desarrollo por la fila con más ceros. De sus propiedades, la que más se olvida es la del escalar: |k·A| = kⁿ·|A|, con n el orden de la matriz. Sacar solo k es un error clásico. También conviene tener a mano |A·B| = |A|·|B| y |A^t| = |A|.

La inversa se calcula por la adjunta, A^-1 = (1/|A|)·(Adj A)^t, o por Gauss escribiendo (A | I) y operando por filas hasta llegar a (I | A^-1). Los dos caminos valen. Lo que no es opcional es la comprobación: multiplica A·A^-1 y mira que sale la identidad. Son veinte segundos y detectan casi cualquier error de signo.

2 Ecuaciones matriciales: el lado de la inversa lo decide la incógnita

Para despejar X no se divide: se multiplica por la inversa. Y como el producto no conmuta, el lado importa. Si la ecuación es A·X = B, la A está a la izquierda de X, así que multiplicas por A^-1 por la izquierda: X = A^-1·B. Si es X·A = B, la A está a la derecha y la inversa va a la derecha: X = B·A^-1. Con dos matrices, A·X·B = C se despeja X = A^-1·C·B^-1.

Antes de multiplicar por una inversa, comprueba que existe: si |A| = 0 no hay inversa y el planteamiento cambia. Y lee el enunciado dos veces buscando traspuestas ocultas: si al despejar salen fracciones feas en un problema que pinta limpio, es probable que haya una traspuesta que no has tenido en cuenta. Escribir X = B·A^-1 cuando la ecuación era A·X = B es el error más costoso del apartado, porque invierte el planteamiento entero.

3 Sistemas: discutir con Rouché-Frobenius y resolver con Cramer

Con A la matriz de coeficientes y A* la ampliada con los términos independientes, la clasificación es una comparación de rangos. Si rango(A) = rango(A*) = número de incógnitas, el sistema es compatible determinado: solución única. Si los rangos coinciden pero son menores que el número de incógnitas, compatible indeterminado: infinitas soluciones, que se expresan con un parámetro. Si los rangos no coinciden, incompatible: sin solución. La frase que hay que fijar: si los rangos coinciden hay solución; si no coinciden, no hay ninguna.

Cuando el sistema lleva un parámetro, el método es siempre el mismo. Uno: calcula |A| en función del parámetro y resuelve |A| = 0 para obtener los valores críticos. Dos: para cualquier otro valor, |A| es distinto de 0 y el sistema es compatible determinado. Tres: cada valor crítico por separado, sustituyendo y comparando los rangos de A y A* con menores. El fallo típico es clasificar sin comparar los dos rangos, o no estudiar los valores críticos uno a uno.

Para resolver, la regla de Cramer: cada incógnita es el cociente entre el determinante de A con su columna sustituida por los términos independientes y el determinante de A. Solo vale si |A| es distinto de 0; en un sistema indeterminado se elimina la ecuación redundante, se pasa una incógnita al otro miembro como parámetro y se aplica Cramer al sistema reducido. Un apunte que evita un susto: un sistema homogéneo nunca es incompatible, porque la solución con todo ceros siempre existe.

En el examen el sistema casi nunca viene escrito: te lo cuentan. Los tres gestos que evitan la mayoría de fallos no son de cálculo: nombra las incógnitas por escrito y con unidades («x = precio del rotulador en euros»), traduce frase a frase en el orden del enunciado y, antes de resolver, cuenta que tienes tantas ecuaciones como incógnitas. Si falta una, hay una frase sin traducir, y suele ser la que lleva una comparación («el doble de», «la mitad que», «superó en»).

4 Programación lineal: cinco pasos que no cambian nunca

El problema pide maximizar o minimizar una función lineal (beneficio, coste, unidades) sujeta a restricciones (materia prima, horas, capacidad, mínimos). El procedimiento es fijo. Uno: define las variables por escrito («sea x el número de unidades de A e y el de B»). Dos: escribe la función objetivo F(x, y) = a·x + b·y. Tres: plantea las restricciones como inecuaciones, y añade siempre las de no negatividad, x ≥ 0 e y ≥ 0, aunque el enunciado no las diga. Cuatro: dibuja la región factible, probando cada semiplano con un punto sencillo como el origen. Cinco: calcula los vértices resolviendo los sistemas de dos en dos y evalúa la función objetivo en cada uno.

Detrás del paso cinco hay un teorema: si existe solución óptima, se alcanza en un vértice de la región factible. Por eso no hace falta probar puntos interiores, y por eso hay que evaluar todos los vértices, no solo dos o tres: en una región con cinco lados, el óptimo puede estar en cualquiera. Si dos vértices dan el mismo valor óptimo, toda la arista que los une es solución.

Dos detalles que dan y quitan puntos. Los signos: «al menos» y «como mínimo» son ≥; «como máximo» y «no más de» son ≤; invertir uno cambia la región entera. Y la respuesta: el vértice no es la respuesta. «El beneficio máximo es de 1.400 euros y se obtiene fabricando 20 mesas y 40 sillas» responde a la pregunta; «(20, 40)» se queda a medias. El dibujo de la región, con las rectas y los vértices rotulados, forma parte de la respuesta y se puntúa aparte del resultado final.

Errores que restan

• Multiplicar por la inversa del lado equivocado en una ecuación matricial: X = B·A⁻¹ cuando la ecuación era A·X = B.
• Aplicar Cramer cuando |A| = 0, o poner |k·A| = k·|A| en lugar de kⁿ·|A|.
• Confundir compatible indeterminado con incompatible al discutir un sistema, o clasificar sin comparar los dos rangos.
• Olvidar las restricciones x ≥ 0 e y ≥ 0, o invertir un signo de desigualdad al traducir «al menos» o «como máximo».
• Dar el vértice como respuesta, sin unidades ni contexto, o evaluar solo algunos vértices de la región.

Autochequeo

Responde sin mirar arriba. Si fallas, mejor aquí que el día del examen: cada opción trae su porqué.