Campo gravitatorio

Qué te va a pedir el examen

• «Calcula la gravedad en la superficie, la velocidad orbital, el periodo y la energía mecánica» de un satélite o un planeta en órbita circular.
• «Determina el campo y el potencial en un punto» creado por dos masas puntuales, y razona dónde se anula cada uno.
• «Define y deduce la velocidad de escape», o calcula la energía necesaria para poner un cuerpo en órbita.
• «Razona si es verdadero o falso» sobre energía mecánica, potencial, velocidad orbital y masa del satélite, justificando con la ley.
• «¿Cómo cambia el resultado si se duplica…?», que se responde con álgebra y no calculando dos veces.

1 Una sola ley, y el campo que crea

Todo el bloque sale de la ley de gravitación universal: F = G·M·m/r², dirigida a lo largo de la recta que une las masas y siempre atractiva. La G te la dan en el examen; lo que hay que saber decir es que la fuerza es central (va hacia el centro de fuerzas) y conservativa (el trabajo no depende del camino). De la segunda propiedad sale la energía potencial; de la primera, la conservación del momento angular.

El campo gravitatorio es la fuerza por unidad de masa: g = G·M/r², en N·kg^-1, que es lo mismo que m·s^-2. Es un vector y apunta siempre hacia la masa que lo crea. Aplicado a la superficie de un astro de radio R, da la gravedad en superficie, g = G·M/R². Fíjate en la consecuencia que se pregunta como cuestión teórica: la masa de prueba se cancela, así que todos los cuerpos caen con la misma aceleración.

Cuando hay dos masas creando campo en un punto, el campo total es la suma vectorial de los dos: haz el esquema con los dos vectores apuntando hacia cada masa, calcula los módulos por separado, descompón en componentes si no están alineados y suma componente a componente. Sumar módulos sin proyectar es el error de procedimiento más repetido del bloque.

2 El potencial es un escalar, y es negativo

La energía potencial de dos masas es E_p = -G·M·m/r y el potencial, V = -G·M/r, en J·kg^-1. Entre ambos, E_p = m·V. El signo negativo no significa que «falte energía»: viene del origen elegido, que es cero en el infinito. Como hay que hacer trabajo para separar las masas hasta allí, cualquier posición a distancia finita tiene menos energía que ese cero. Es lo que se llama pozo de potencial: cuanto más cerca de la masa, más profundo.

Y aquí está el matiz que separa notas: el potencial es escalar. No lleva flecha, no tiene dirección, y con varias masas se suma con signo, sin componentes. Ponerle flecha de vector al potencial o a la energía es el error conceptual más citado del bloque, y hay criterios de corrección que lo tarifan con décimas.

De esa diferencia entre vector y escalar sale una cuestión que vuelve año tras año: entre dos masas, el campo sí puede anularse (los dos vectores se oponen y hay un punto, más cerca de la masa pequeña, donde los módulos coinciden), pero el potencial nunca: es la suma de dos números negativos, y eso no da cero. Los vectores se cancelan; los escalares negativos, no.

3 Órbita circular: la síntesis del bloque

Un satélite se mantiene en órbita porque la gravedad es su fuerza centrípeta. Igualando, G·M·m/r² = m·v²/r, y de ahí v = √(G·M/r). Dos cosas que se preguntan de esa expresión: la velocidad orbital no depende de la masa del satélite, que se cancela, y decrece con el radio: los satélites lejanos van más despacio. Con v = 2π·r/T sale el periodo, T = 2π·√(r³/(G·M)), que es la tercera ley de Kepler: T²/r³ es la misma constante para todo lo que orbita el mismo astro.

Las energías en órbita hay que saberlas con su signo: E_c = G·M·m/(2r), positiva; E_p = -G·M·m/r, negativa; y la mecánica, E_m = -G·M·m/(2r), negativa. De ahí las tres relaciones que responden cuestiones teóricas directas: E_m = -E_c, E_m = E_p/2 y E_p = -2·E_c. El signo negativo de la energía mecánica significa cuerpo ligado, órbita cerrada. Si te sale positiva en una órbita, hay un error.

El dato donde más se pierde el problema es la distancia: en las fórmulas de órbita va el radio de la órbita, medido desde el centro del astro, y los enunciados dan la altura sobre la superficie. Escribe siempre r = R + h antes de sustituir, y pasa los kilómetros a metros. En la gravedad en superficie, en cambio, va el radio del astro. Y si el dato viene «en veces la Tierra», conviértelo a kilogramos y metros primero.

Una idea que redondea las respuestas: en órbita circular la gravedad es perpendicular a la velocidad, así que no realiza trabajo. Mantenerse en órbita no cuesta energía; solo cuesta cambiar de órbita, y ese coste es la diferencia de energías mecánicas entre la órbita final y la inicial.

4 Velocidad de escape y balances de energía

La velocidad de escape es la mínima que hay que dar a un cuerpo en la superficie para que llegue al infinito con velocidad nula. Se deduce en tres líneas por conservación de la energía: en la superficie, E_m = ½·m·v_e² - G·M·m/R; en el infinito, cero. Igualando, v_e = √(2·G·M/R), que también se escribe √(2·g·R). No depende de la masa del cuerpo lanzado, y es exactamente √2 veces la velocidad orbital a esa misma distancia.

Ese razonamiento es el método universal del bloque: cuando no sepas por dónde empezar, escribe la energía mecánica en dos puntos e iguálala, porque el campo es conservativo. La energía para poner un satélite en órbita desde la superficie es E_m(órbita) menos E_m(superficie), y en la superficie, en reposo, la energía mecánica es solo la potencial. Si el resultado sale positivo, hay que aportar energía: es lo que se espera.

Con el mismo aparato se responden las preguntas de «¿cómo cambia si…?», que están en casi todos los exámenes. No se calcula dos veces: se escribe la expresión simbólica, se plantea el cociente entre la situación nueva y la vieja, se cancela lo que no cambia y se interpreta con palabras. Si el radio del planeta se duplica con la misma masa, v_e queda dividida por √2. Sin sustituir un solo número.

5 Órbitas elípticas: lo que se conserva y lo que no

En una elipse el astro central está en uno de los focos, la distancia varía entre el perihelio (o perigeo) y el afelio (o apogeo), y la velocidad no es constante. Lo que se conserva son dos cosas: la energía mecánica, porque el campo es conservativo, y el momento angular, porque la fuerza es central y su momento respecto al foco es nulo. Esa segunda conservación es exactamente la segunda ley de Kepler, la de las áreas, y de ella sale que el cuerpo va más rápido en el perihelio.

En el perihelio y el afelio la velocidad es perpendicular al radio, así que L = m·v·r y se cumple v_p·r_p = v_a·r_a. Con esa ecuación y la conservación de la energía tienes un sistema de dos ecuaciones para las dos velocidades. La regla que hay que respetar: v = √(G·M/r) vale solo para órbitas circulares. Usarla en una elipse es un error documentado que arruina el apartado.

Errores que restan

• Usar el radio del planeta donde toca el radio de la órbita, o al revés: r = R + h es el fallo más frecuente del bloque.
• Poner flecha de vector al potencial o a la energía, o quitársela al campo o a la fuerza.
• Olvidar el signo negativo del potencial y dar una energía mecánica positiva en una órbita ligada.
• Sumar los campos de dos masas como escalares en lugar de descomponerlos en componentes.
• Sustituir datos sin pasarlos al SI: kilómetros, «veces la masa de la Tierra», unidades astronómicas.

Autochequeo

Responde sin mirar arriba. Si fallas, mejor aquí que el día del examen: cada opción trae su porqué.